Các Ulam xoắn ốc hoặc Thủ xoắn ốc là một mô tả đồ họa của bộ số nguyên tố , được phát minh bởi nhà toán học Stanisław Ulam năm 1963 và phổ biến rộng rãi trong Martin Gardner của toán học Games cột trong Scientific American một thời gian ngắn sau đó. ^[1] Nó được xây dựng bằng cách viết các số nguyên dương theo hình xoắn ốc vuông và đặc biệt đánh dấu các số nguyên tố.

Ulam và Gardner nhấn mạnh sự xuất hiện nổi bật trong hình xoắn ốc của các đường chéo, ngang và dọc nổi bật chứa nhiều số nguyên tố. Cả Ulam và Gardner đều lưu ý rằng sự tồn tại của các đường nổi bật như vậy không phải là bất ngờ, vì các đường trong hình xoắn ốc tương ứng với đa thức bậc hai và một số đa thức như vậy, chẳng hạn như đa thức sinh nguyên tố của Euler x ²  -  x  + 41, được cho là tạo ra mật độ số nguyên tố cao. ^[2] [3] Tuy nhiên, vòng xoắn Ulam được kết nối với các vấn đề lớn chưa được giải quyết trong lý thuyết số như các bài toán của Landau. Đặc biệt, chưa có đa thức bậc hai nào được chứng minh là tạo ra vô số số nguyên tố, càng ít để có mật độ tiệm cận cao của chúng, mặc dù có một giả thuyết được hỗ trợ tốt về mật độ tiệm cận đó.

Năm 1932, hơn ba mươi năm trước khi phát hiện ra Ulam, nhà nghiên cứu về cỏ học Laurence Klauber đã xây dựng một mảng tam giác, không xoắn ốc chứa các đường thẳng đứng và đường chéo thể hiện nồng độ các số nguyên tố giống nhau. Giống như Ulam, Klauber lưu ý mối liên hệ với các đa thức sinh nguyên tố, chẳng hạn như Euler. ^[4]

Xây dựng 

Hình xoắn ốc Ulam được xây dựng bằng cách viết các số nguyên dương theo cách sắp xếp xoắn ốc trên một mạng hình vuông :

và sau đó đánh dấu các số nguyên tố:

Trong hình, các số nguyên tố xuất hiện tập trung dọc theo các đường chéo nhất định. Trong hình xoắn ốc 200 × 200 Ulam được hiển thị ở trên, các đường chéo có thể nhìn thấy rõ ràng, xác nhận rằng mô hình vẫn tiếp tục. Các đường ngang và dọc với mật độ số nguyên tố cao, mặc dù ít nổi bật hơn, cũng thể hiện rõ. Thông thường, vòng xoắn số được bắt đầu với số 1 ở tâm, nhưng có thể bắt đầu bằng bất kỳ số nào và quan sát thấy cùng một nồng độ các số nguyên tố dọc theo các đường chéo, ngang và dọc. Bắt đầu với 41 ở tâm cho một đường chéo chứa một chuỗi 40 số nguyên tố không bị đứt đoạn (bắt đầu từ 1523 về phía tây nam của gốc, giảm xuống 41 ở gốc và tăng lên 1601 ở phía đông bắc của gốc), ví dụ dài nhất của loại hình này. ^[5]

Lịch sử 

Theo Gardner, Ulam đã phát hiện ra vòng xoắn vào năm 1963 khi đang vẽ nguệch ngoạc trong buổi trình bày “một bài báo dài và rất nhàm chán” tại một cuộc họp khoa học. ^[1] Các phép tính tay này lên tới “vài trăm điểm”. Ngay sau đó, Ulam, cùng với các cộng sự Myron Stein và Mark Wells, đã sử dụng MANIAC II tại Phòng thí nghiệm Khoa học Los Alamos để mở rộng phép tính lên khoảng 100.000 điểm. Nhóm cũng đã tính toán mật độ của các số nguyên tố giữa các số lên đến 10.000.000 dọc theo một số đường giàu nguyên tố cũng như dọc theo một số đường nguyên tố-nghèo. Hình ảnh của đường xoắn ốc lên tới 65.000 điểm đã được hiển thị trên “một ống soi gắn vào máy” và sau đó được chụp ảnh. ^[6] Xoắn ốc Ulam được mô tả trong Martin Gardner ‘Chuyên mục Trò chơi Toán học trên tạp chí Scientific American và được đăng trên trang bìa của số báo đó. Một số bức ảnh của Stein, Ulam và Wells đã được tái hiện trong cột.

Trong một phụ lục cho chuyên mục Khoa học Mỹ , Gardner đã đề cập đến bài báo trước đó của Klauber. ^[7] [8] Klauber mô tả cách xây dựng của mình như sau, “Các số nguyên được sắp xếp theo thứ tự tam giác với 1 ở đỉnh, dòng thứ hai chứa các số từ 2 đến 4, dòng thứ ba từ 5 đến 9, v.v. Khi các số nguyên tố có đã được chỉ ra, người ta thấy rằng có những nồng độ trong một số đường thẳng đứng và đường chéo nhất định, và trong số này người ta phát hiện ra cái gọi là trình tự Euler với nồng độ nguyên tố cao. ” ^[4]

Giải thích 

Các đường chéo, ngang và dọc trong hình xoắn ốc số tương ứng với các đa thức có dạng

{\ displaystyle f (n) = 4n ^ {2} + bn + c}

trong đó b và c là các hằng số nguyên. Khi b chẵn, các đường chéo và hoặc tất cả các số đều lẻ hoặc tất cả các số đều chẵn, tùy thuộc vào giá trị của c . Do đó, không có gì ngạc nhiên khi tất cả các số nguyên tố khác 2 nằm trong các đường chéo thay thế của hình xoắn ốc Ulam. Một số đa thức, chẳng hạn như{\ displaystyle 4n ^ {2} + 8n + 3}, trong khi chỉ tạo ra các giá trị lẻ, phân tích nhân tử trên các số nguyên {\ displaystyle (4n ^ {2} + 8n + 3 = (2n + 1) (2n + 3))} và do đó không bao giờ là số nguyên tố ngoại trừ có thể khi một trong các thừa số bằng 1. Các ví dụ như vậy tương ứng với các đường chéo không có số nguyên tố hoặc gần như vậy.

Để hiểu rõ tại sao một số đường chéo lẻ còn lại có thể có nồng độ số nguyên tố cao hơn những đường chéo khác, hãy xem xét {\ displaystyle 4n ^ {2} + 6n + 1} và {\ displaystyle 4n ^ {2} + 6n + 5}. Tính phần dư khi chia cho 3 dưới dạng nnhận các giá trị liên tiếp 0, 1, 2, …. Đối với đa thức đầu tiên, dãy số dư là 1, 2, 2, 1, 2, 2, …, còn đối với đa thức thứ hai là 2, 0, 0, 2, 0, 0, …. Điều này ngụ ý rằng trong chuỗi các giá trị được lấy bởi đa thức thứ hai, hai trong số ba chia hết cho 3 và do đó chắc chắn không phải là số nguyên tố, trong khi trong chuỗi giá trị được lấy bởi đa thức đầu tiên, không có đa thức nào chia hết cho 3. Do đó, có vẻ hợp lý khi đa thức đầu tiên sẽ tạo ra các giá trị có mật độ số nguyên tố cao hơn đa thức thứ hai. Ít nhất, quan sát này cung cấp ít lý do để tin rằng các đường chéo tương ứng sẽ dày đặc như nhau với các số nguyên tố. Tất nhiên, ta nên xem xét phép chia hết cho các số nguyên tố khác 3. Việc xét phép chia hết cho 5, các phần dư khi chia cho 15 lặp lại với mẫu 1, 11, 14, 10, 14, 11, 1,

Mặc dù các kết quả đã được chứng minh một cách chặt chẽ về các số nguyên tố trong dãy bậc hai là rất hiếm, nhưng những cân nhắc như trên sẽ dẫn đến một phỏng đoán hợp lý về mật độ tiệm cận của các số nguyên tố trong các dãy như vậy, được mô tả trong phần tiếp theo.

Giả thuyết của Hardy và Littlewood F 

Trong bài báo năm 1923 trên Goldbach Conjecture , Hardy và Littlewood đã đưa ra một loạt phỏng đoán, một trong số đó, nếu đúng, sẽ giải thích một số đặc điểm nổi bật của xoắn ốc Ulam. Phỏng đoán này, mà Hardy và Littlewood gọi là “Phỏng đoán F”, là một trường hợp đặc biệt của phỏng đoán Bateman – Horn và khẳng định một công thức tiệm cận cho số nguyên tố có dạng ax ²  +  bx  +  c . Tia phát ra từ vùng trung tâm của xoắn ốc Ulam tạo thành góc 45 ° với phương ngang và phương thẳng đứng tương ứng với các số có dạng 4 x ²  +  bx  +  c vớib chẵn; tia ngang và tia dọc ứng với các số cùng dạng với b lẻ. Giả thuyết F cung cấp một công thức có thể được sử dụng để ước tính mật độ của các số nguyên tố dọc theo các tia như vậy. Nó ngụ ý rằng sẽ có sự thay đổi đáng kể về mật độ dọc theo các tia khác nhau. Đặc biệt, mật độ rất nhạy cảm với phân biệt của đa thức, b ²  - 16 c .

Giả thuyết F liên quan đến đa thức có dạng ax ²  +  bx  +  c trong đó a , b , và c là các số nguyên và a là số dương. Nếu các hệ số chứa thừa số chung lớn hơn 1 hoặc nếu số phân biệt Δ =  b ²  - 4 ac là một bình phương hoàn hảo , thì đa thức phân tích nhân tử và do đó tạo ra các hợp số dưới dạng x nhận các giá trị 0, 1, 2, … (ngoại trừ có thể cho một hoặc hai giá trị của x trong đó một trong các hệ số bằng 1). Hơn nữa, nếu a  +  bvà c đều là chẵn, đa thức chỉ tạo ra các giá trị chẵn và do đó là hỗn hợp ngoại trừ có thể cho giá trị 2. Hardy và Littlewood khẳng định rằng, ngoài những trường hợp này, ax ²  +  bx  +  c nhận các giá trị nguyên tố vô hạn khi x nhận giá trị 0, 1, 2, … Câu lệnh này là một trường hợp đặc biệt của một phỏng đoán trước đó của Bunyakovsky và vẫn còn bỏ ngỏ. Hardy và Littlewood khẳng định thêm rằng, về mặt tiệm cận, số P ( n ) của các số nguyên tố có dạng ax ²  +  bx  +  c và nhỏ hơn n được cho bởi

{\displaystyle P(n)\sim A{\frac {1}{\sqrt {a}}}{\frac {\sqrt {n}}{\log n}}}

trong đó A phụ thuộc vào a , b và c nhưng không phụ thuộc vào n . Theo định lý số nguyên tố , công thức này với tập A bằng một là số tiệm cận của số nguyên tố nhỏ hơn n dự kiến ​​trong một tập hợp số ngẫu nhiên có cùng mật độ với tập hợp số có dạng ax ²  +  bx  +  c . Nhưng vì A có thể nhận các giá trị lớn hơn hoặc nhỏ hơn 1, theo phỏng đoán, một số đa thức sẽ đặc biệt giàu số nguyên tố, và một số đa thức khác thì đặc biệt nghèo. Một đa thức giàu bất thường là 4 x ²  - 2 x + 41 tạo thành một đường khả kiến ​​trong hình xoắn ốc Ulam. Hằng số A của đa thức này là xấp xỉ 6,6, có nghĩa là các số mà nó tạo ra có khả năng là số nguyên tố gần như gấp bảy lần các số ngẫu nhiên có kích thước tương đương, theo phỏng đoán. Đa thức cụ thể này liên quan đến đa thức sinh nguyên tố của Euler x ²  -  x  + 41 bằng cách thay x bằng 2 x , hoặc tương đương, bằng cách giới hạn x ở các số chẵn. Hằng số A được cho bởi một tích chạy trên tất cả các số nguyên tố,

{\ displaystyle A = \ prod \ limit _ {p} {\ frac {p- \ omega (p)} {p-1}} ~},

trong đó {\ displaystyle \ omega (p)}là số số không của modulo đa thức bậc hai p và do đó nhận một trong các giá trị 0, 1 hoặc 2. Hardy và Littlewood chia tích số thành ba yếu tố như

{\ displaystyle A = \ varepsilon \ prod _ {p} {\ expandl (} {\ frac {p} {p-1}} {\ELECTr)} \, \ prod _ {\ varpi} {\ expandl (} 1 – {\ frac {1} {\ varpi -1}} {\ Bigl (} {\ frac {\ Delta} {\ varpi}} {\ Bigr)} {\ Bigr)}}.

Ở đây thừa số ε, tương ứng với số nguyên tố 2, là 1 nếu a  +  b lẻ và 2 nếu a  +  b chẵn. Chỉ số tích số đầu tiên p chạy trên vô số số nguyên tố lẻ chia cả a và b . Đối với những số nguyên tố này{\ displaystyle \ omega (p) = 0}vì p không chia được c . Chỉ số sản phẩm thứ hai{\ displaystyle \ varpi}chạy qua vô hạn số nguyên tố lẻ không chia a . Đối với những số nguyên tố này{\ displaystyle \ omega (p)}bằng 1, 2 hoặc 0 tùy thuộc vào việc phân biệt là 0, một bình phương khác 0, hay một mô-đun không bình phương p . Điều này được giải thích bằng việc sử dụng biểu tượng Legendre ,{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ Delta} {\ varpi}} \ right)}. Khi một số nguyên tố p chia cho a nhưng không chia b thì sẽ có một modulo gốc p . Do đó, các số nguyên tố như vậy không đóng góp vào sản phẩm.

Một đa thức bậc hai với A ≈ 11,3, hiện là giá trị cao nhất được biết đến, đã được Jacobson và Williams phát hiện. ^[9] [10]

Các biến thể 

Bài báo năm 1932 của Klauber mô tả một tam giác trong đó hàng n chứa các số ( n   - 1) ²  + 1 đến n ² . Như trong vòng xoắn Ulam, đa thức bậc hai tạo ra các số nằm trên các đường thẳng. Sọc dọc tương ứng với số có dạng k ²  -  k  +  M . Các đường thẳng đứng và đường chéo có mật độ số nguyên tố cao được thể hiện rõ trong hình.

Robert Sacks đã nghĩ ra một biến thể của đường xoắn ốc Ulam vào năm 1994. Trong đường xoắn ốc Sacks, các số nguyên không âm được vẽ trên đường xoắn ốc Archimedean chứ không phải đường xoắn ốc hình vuông mà Ulam sử dụng và được đặt cách nhau để một hình vuông hoàn hảo xuất hiện trong mỗi vòng quay đầy đủ . (Trong đường xoắn ốc Ulam, hai hình vuông xảy ra trong mỗi vòng quay.) Đa thức sinh nguyên tố của Euler, x ²  -  x  + 41, bây giờ xuất hiện dưới dạng một đường cong đơn khi x nhận các giá trị 0, 1, 2, … Đường cong này tiệm cận tiếp cận một đường ngang ở nửa bên trái của hình. (Trong hình xoắn ốc Ulam, đa thức Euler tạo thành hai đường chéo, một ở nửa trên của hình, tương ứng với các giá trị chẵn của xtrong dãy, phần còn lại ở nửa dưới của hình tương ứng với các giá trị lẻ của x trong dãy.)

Cấu trúc bổ sung có thể được nhìn thấy khi các số tổng hợp cũng được bao gồm trong vòng xoắn Ulam. Số 1 chỉ có một yếu tố duy nhất, chính nó; mỗi số nguyên tố có hai thừa số là chính nó và 1; hợp số chia hết cho ít nhất ba thừa số khác nhau. Sử dụng kích thước của dấu chấm biểu thị một số nguyên để biểu thị số thừa số và tô màu các số nguyên tố màu đỏ và màu xanh lam cho các số tổng hợp sẽ tạo ra hình được hiển thị.

Các đường xoắn ốc theo sau các lớp khác của mặt phẳng cũng tạo ra các đường giàu số nguyên tố, ví dụ như đường xoắn ốc lục giác.

• 

  Đánh dấu tam giác Klauber với các số nguyên tố tạo bởi đa thức Euler x ²   -   x   + 41.

• 

  Bao xoắn ốc.

• 

  Ulam xoắn ốc có kích thước 150 × 150 hiển thị cả số nguyên tố và số tổng hợp.

• 

  Vòng xoắn số lục giác với các số nguyên tố có màu xanh lục và các số tổng hợp cao hơn có các sắc thái đậm hơn của màu xanh lam.

• 

  Hình xoắn ốc có 7503 số nguyên tố có thể nhìn thấy trên tam giác đều
  .