xoắn ốc ulam hay xoắn ốc số nguyên tố

Để so sánh, một hình xoắn ốc với các số lẻ ngẫu nhiên được tô màu đen (với cùng mật độ các số nguyên tố trong hình xoắn ốc 200×200).

Các Ulam xoắn ốc hoặc Thủ xoắn ốc là một mô tả đồ họa của bộ số nguyên tố , được phát minh bởi nhà toán học Stanisław Ulam năm 1963 và phổ biến rộng rãi trong Martin Gardner của toán học Games cột trong Scientific American một thời gian ngắn sau đó. ^[1] Nó được xây dựng bằng cách viết các số nguyên dương theo hình xoắn ốc vuông và đặc biệt đánh dấu các số nguyên tố.

Ulam và Gardner nhấn mạnh sự xuất hiện nổi bật trong hình xoắn ốc của các đường chéo, ngang và dọc nổi bật chứa nhiều số nguyên tố. Cả Ulam và Gardner đều lưu ý rằng sự tồn tại của các đường nổi bật như vậy không phải là bất ngờ, vì các đường trong hình xoắn ốc tương ứng với đa thức bậc hai và một số đa thức như vậy, chẳng hạn như đa thức sinh nguyên tố của Euler x ² - x + 41, được cho là tạo ra mật độ số nguyên tố cao. ^[2]^[3] Tuy nhiên, vòng xoắn Ulam được kết nối với các vấn đề lớn chưa được giải quyết trong lý thuyết số như các bài toán của Landau. Đặc biệt, chưa có đa thức bậc hai nào được chứng minh là tạo ra vô số số nguyên tố, càng ít để có mật độ tiệm cận cao của chúng, mặc dù có một giả thuyết được hỗ trợ tốt về mật độ tiệm cận đó.

Năm 1932, hơn ba mươi năm trước khi phát hiện ra Ulam, nhà nghiên cứu về cỏ học Laurence Klauber đã xây dựng một mảng tam giác, không xoắn ốc chứa các đường thẳng đứng và đường chéo thể hiện nồng độ các số nguyên tố giống nhau. Giống như Ulam, Klauber lưu ý mối liên hệ với các đa thức sinh nguyên tố, chẳng hạn như Euler. ^[4]

Xây dựng

Hình xoắn ốc Ulam được xây dựng bằng cách viết các số nguyên dương theo cách sắp xếp xoắn ốc trên một mạng hình vuông :

và sau đó đánh dấu các số nguyên tố:

Trong hình, các số nguyên tố xuất hiện tập trung dọc theo các đường chéo nhất định. Trong hình xoắn ốc 200 × 200 Ulam được hiển thị ở trên, các đường chéo có thể nhìn thấy rõ ràng, xác nhận rằng mô hình vẫn tiếp tục. Các đường ngang và dọc với mật độ số nguyên tố cao, mặc dù ít nổi bật hơn, cũng thể hiện rõ. Thông thường, vòng xoắn số được bắt đầu với số 1 ở tâm, nhưng có thể bắt đầu bằng bất kỳ số nào và quan sát thấy cùng một nồng độ các số nguyên tố dọc theo các đường chéo, ngang và dọc. Bắt đầu với 41 ở tâm cho một đường chéo chứa một chuỗi 40 số nguyên tố không bị đứt đoạn (bắt đầu từ 1523 về phía tây nam của gốc, giảm xuống 41 ở gốc và tăng lên 1601 ở phía đông bắc của gốc), ví dụ dài nhất của loại hình này. ^[5]

Lịch sử

Theo Gardner, Ulam đã phát hiện ra vòng xoắn vào năm 1963 khi đang vẽ nguệch ngoạc trong buổi trình bày “một bài báo dài và rất nhàm chán” tại một cuộc họp khoa học. ^[1] Các phép tính tay này lên tới “vài trăm điểm”. Ngay sau đó, Ulam, cùng với các cộng sự Myron Stein và Mark Wells, đã sử dụng MANIAC II tại Phòng thí nghiệm Khoa học Los Alamos để mở rộng phép tính lên khoảng 100.000 điểm. Nhóm cũng đã tính toán mật độ của các số nguyên tố giữa các số lên đến 10.000.000 dọc theo một số đường giàu nguyên tố cũng như dọc theo một số đường nguyên tố-nghèo. Hình ảnh của đường xoắn ốc lên tới 65.000 điểm đã được hiển thị trên “một ống soi gắn vào máy” và sau đó được chụp ảnh. ^[6] Xoắn ốc Ulam được mô tả trong Martin Gardner ‘Chuyên mục Trò chơi Toán học trên tạp chí Scientific American và được đăng trên trang bìa của số báo đó. Một số bức ảnh của Stein, Ulam và Wells đã được tái hiện trong cột.

Trong một phụ lục cho chuyên mục Khoa học Mỹ , Gardner đã đề cập đến bài báo trước đó của Klauber. ^[7]^[8] Klauber mô tả cách xây dựng của mình như sau, “Các số nguyên được sắp xếp theo thứ tự tam giác với 1 ở đỉnh, dòng thứ hai chứa các số từ 2 đến 4, dòng thứ ba từ 5 đến 9, v.v. Khi các số nguyên tố có đã được chỉ ra, người ta thấy rằng có những nồng độ trong một số đường thẳng đứng và đường chéo nhất định, và trong số này người ta phát hiện ra cái gọi là trình tự Euler với nồng độ nguyên tố cao. ” ^[4]

Giải thích

Các đường chéo, ngang và dọc trong hình xoắn ốc số tương ứng với các đa thức có dạng

f (n) = 4 n ^ 2 + bn + c

trong đó b và c là các hằng số nguyên. Khi b chẵn, các đường chéo và hoặc tất cả các số đều lẻ hoặc tất cả các số đều chẵn, tùy thuộc vào giá trị của c . Do đó, không có gì ngạc nhiên khi tất cả các số nguyên tố khác 2 nằm trong các đường chéo thay thế của hình xoắn ốc Ulam. Một số đa thức, chẳng hạn như ${\ displaystyle 4n ^ {2} + 8n + 3}$ , trong khi chỉ tạo ra các giá trị lẻ, phân tích nhân tử trên các số nguyên ${\ displaystyle (4n ^ {2} + 8n + 3 = (2n + 1) (2n + 3))}$ và do đó không bao giờ là số nguyên tố ngoại trừ có thể khi một trong các thừa số bằng 1. Các ví dụ như vậy tương ứng với các đường chéo không có số nguyên tố hoặc gần như vậy.

Để hiểu rõ tại sao một số đường chéo lẻ còn lại có thể có nồng độ số nguyên tố cao hơn những đường chéo khác, hãy xem xét ${\ displaystyle 4n ^ {2} + 6n + 1}$ và ${\ displaystyle 4n ^ {2} + 6n + 5}$ . Tính phần dư khi chia cho 3 dưới dạng nnhận các giá trị liên tiếp 0, 1, 2, …. Đối với đa thức đầu tiên, dãy số dư là 1, 2, 2, 1, 2, 2, …, còn đối với đa thức thứ hai là 2, 0, 0, 2, 0, 0, …. Điều này ngụ ý rằng trong chuỗi các giá trị được lấy bởi đa thức thứ hai, hai trong số ba chia hết cho 3 và do đó chắc chắn không phải là số nguyên tố, trong khi trong chuỗi giá trị được lấy bởi đa thức đầu tiên, không có đa thức nào chia hết cho 3. Do đó, có vẻ hợp lý khi đa thức đầu tiên sẽ tạo ra các giá trị có mật độ số nguyên tố cao hơn đa thức thứ hai. Ít nhất, quan sát này cung cấp ít lý do để tin rằng các đường chéo tương ứng sẽ dày đặc như nhau với các số nguyên tố. Tất nhiên, ta nên xem xét phép chia hết cho các số nguyên tố khác 3. Việc xét phép chia hết cho 5, các phần dư khi chia cho 15 lặp lại với mẫu 1, 11, 14, 10, 14, 11, 1,

Mặc dù các kết quả đã được chứng minh một cách chặt chẽ về các số nguyên tố trong dãy bậc hai là rất hiếm, nhưng những cân nhắc như trên sẽ dẫn đến một phỏng đoán hợp lý về mật độ tiệm cận của các số nguyên tố trong các dãy như vậy, được mô tả trong phần tiếp theo.

Giả thuyết của Hardy và Littlewood F

Trong bài báo năm 1923 trên Goldbach Conjecture , Hardy và Littlewood đã đưa ra một loạt phỏng đoán, một trong số đó, nếu đúng, sẽ giải thích một số đặc điểm nổi bật của xoắn ốc Ulam. Phỏng đoán này, mà Hardy và Littlewood gọi là “Phỏng đoán F”, là một trường hợp đặc biệt của phỏng đoán Bateman – Horn và khẳng định một công thức tiệm cận cho số nguyên tố có dạng ax ² + bx + c . Tia phát ra từ vùng trung tâm của xoắn ốc Ulam tạo thành góc 45 ° với phương ngang và phương thẳng đứng tương ứng với các số có dạng 4 x ² + bx + c vớib chẵn; tia ngang và tia dọc ứng với các số cùng dạng với b lẻ. Giả thuyết F cung cấp một công thức có thể được sử dụng để ước tính mật độ của các số nguyên tố dọc theo các tia như vậy. Nó ngụ ý rằng sẽ có sự thay đổi đáng kể về mật độ dọc theo các tia khác nhau. Đặc biệt, mật độ rất nhạy cảm với phân biệt của đa thức, b ² - 16 c .

Các số nguyên tố dạng 4 x ² - 2 x + 41 với x = 0, 1, 2, … được tô màu tím. Đường thẳng song song nổi bật ở nửa dưới của hình tương ứng với 4 x ² + 2 x + 41 hoặc tương đương với các giá trị âm của x .

Giả thuyết F liên quan đến đa thức có dạng ax ² + bx + c trong đó a , b , và c là các số nguyên và a là số dương. Nếu các hệ số chứa thừa số chung lớn hơn 1 hoặc nếu số phân biệt Δ = b ² - 4 ac là một bình phương hoàn hảo , thì đa thức phân tích nhân tử và do đó tạo ra các hợp số dưới dạng x nhận các giá trị 0, 1, 2, … (ngoại trừ có thể cho một hoặc hai giá trị của x trong đó một trong các hệ số bằng 1). Hơn nữa, nếu a + bvà c đều là chẵn, đa thức chỉ tạo ra các giá trị chẵn và do đó là hỗn hợp ngoại trừ có thể cho giá trị 2. Hardy và Littlewood khẳng định rằng, ngoài những trường hợp này, ax ² + bx + c nhận các giá trị nguyên tố vô hạn khi x nhận giá trị 0, 1, 2, … Câu lệnh này là một trường hợp đặc biệt của một phỏng đoán trước đó của Bunyakovsky và vẫn còn bỏ ngỏ. Hardy và Littlewood khẳng định thêm rằng, về mặt tiệm cận, số P ( n ) của các số nguyên tố có dạng ax ² + bx + c và nhỏ hơn n được cho bởi

P (n) \ sim A \ frac {1} {\ sqrt {a}} \ frac {\ sqrt {n}} {\ log n}

trong đó A phụ thuộc vào a , b và c nhưng không phụ thuộc vào n . Theo định lý số nguyên tố , công thức này với tập A bằng một là số tiệm cận của số nguyên tố nhỏ hơn n dự kiến trong một tập hợp số ngẫu nhiên có cùng mật độ với tập hợp số có dạng ax ² + bx + c . Nhưng vì A có thể nhận các giá trị lớn hơn hoặc nhỏ hơn 1, theo phỏng đoán, một số đa thức sẽ đặc biệt giàu số nguyên tố, và một số đa thức khác thì đặc biệt nghèo. Một đa thức giàu bất thường là 4 x ² - 2 x + 41 tạo thành một đường khả kiến trong hình xoắn ốc Ulam. Hằng số A của đa thức này là xấp xỉ 6,6, có nghĩa là các số mà nó tạo ra có khả năng là số nguyên tố gần như gấp bảy lần các số ngẫu nhiên có kích thước tương đương, theo phỏng đoán. Đa thức cụ thể này liên quan đến đa thức sinh nguyên tố của Euler x ² - x + 41 bằng cách thay x bằng 2 x , hoặc tương đương, bằng cách giới hạn x ở các số chẵn. Hằng số A được cho bởi một tích chạy trên tất cả các số nguyên tố,

{\ displaystyle A = \ prod \ limit _ {p} {\ frac {p- \ omega (p)} {p-1}} ~}

,

trong đó $\ omega (p)$ là số số không của modulo đa thức bậc hai p và do đó nhận một trong các giá trị 0, 1 hoặc 2. Hardy và Littlewood chia tích số thành ba yếu tố như

{\ displaystyle A = \ varepsilon \ prod _ {p} {\ expandl (} {\ frac {p} {p-1}} {\ELECTr)} \, \ prod _ {\ varpi} {\ expandl (} 1 - {\ frac {1} {\ varpi -1}} {\ Bigl (} {\ frac {\ Delta} {\ varpi}} {\ Bigr)} {\ Bigr)}}

.

Ở đây thừa số ε, tương ứng với số nguyên tố 2, là 1 nếu a + b lẻ và 2 nếu a + b chẵn. Chỉ số tích số đầu tiên p chạy trên vô số số nguyên tố lẻ chia cả a và b . Đối với những số nguyên tố này ${\ displaystyle \ omega (p) = 0}$ vì p không chia được c . Chỉ số sản phẩm thứ hai $\ varpi$ chạy qua vô hạn số nguyên tố lẻ không chia a . Đối với những số nguyên tố này $\ omega (p)$ bằng 1, 2 hoặc 0 tùy thuộc vào việc phân biệt là 0, một bình phương khác 0, hay một mô-đun không bình phương p . Điều này được giải thích bằng việc sử dụng biểu tượng Legendre , $\ left (\ frac {\ Delta} {\ varpi} \ right)$ . Khi một số nguyên tố p chia cho a nhưng không chia b thì sẽ có một modulo gốc p . Do đó, các số nguyên tố như vậy không đóng góp vào sản phẩm.

Một đa thức bậc hai với A ≈ 11,3, hiện là giá trị cao nhất được biết đến, đã được Jacobson và Williams phát hiện. ^[9]^[10]

Các biến thể

Bài báo năm 1932 của Klauber mô tả một tam giác trong đó hàng n chứa các số ( n - 1) ² + 1 đến n ² . Như trong vòng xoắn Ulam, đa thức bậc hai tạo ra các số nằm trên các đường thẳng. Sọc dọc tương ứng với số có dạng k ² - k + M . Các đường thẳng đứng và đường chéo có mật độ số nguyên tố cao được thể hiện rõ trong hình.

Robert Sacks đã nghĩ ra một biến thể của đường xoắn ốc Ulam vào năm 1994. Trong đường xoắn ốc Sacks, các số nguyên không âm được vẽ trên đường xoắn ốc Archimedean chứ không phải đường xoắn ốc hình vuông mà Ulam sử dụng và được đặt cách nhau để một hình vuông hoàn hảo xuất hiện trong mỗi vòng quay đầy đủ . (Trong đường xoắn ốc Ulam, hai hình vuông xảy ra trong mỗi vòng quay.) Đa thức sinh nguyên tố của Euler, x ² - x + 41, bây giờ xuất hiện dưới dạng một đường cong đơn khi x nhận các giá trị 0, 1, 2, … Đường cong này tiệm cận tiếp cận một đường ngang ở nửa bên trái của hình. (Trong hình xoắn ốc Ulam, đa thức Euler tạo thành hai đường chéo, một ở nửa trên của hình, tương ứng với các giá trị chẵn của xtrong dãy, phần còn lại ở nửa dưới của hình tương ứng với các giá trị lẻ của x trong dãy.)

Cấu trúc bổ sung có thể được nhìn thấy khi các số tổng hợp cũng được bao gồm trong vòng xoắn Ulam. Số 1 chỉ có một yếu tố duy nhất, chính nó; mỗi số nguyên tố có hai thừa số là chính nó và 1; hợp số chia hết cho ít nhất ba thừa số khác nhau. Sử dụng kích thước của dấu chấm biểu thị một số nguyên để biểu thị số thừa số và tô màu các số nguyên tố màu đỏ và màu xanh lam cho các số tổng hợp sẽ tạo ra hình được hiển thị.

Các đường xoắn ốc theo sau các lớp khác của mặt phẳng cũng tạo ra các đường giàu số nguyên tố, ví dụ như đường xoắn ốc lục giác.

Đánh dấu tam giác Klauber với các số nguyên tố tạo bởi đa thức Euler x ² - x + 41.
Bao xoắn ốc.
Ulam xoắn ốc có kích thước 150 × 150 hiển thị cả số nguyên tố và số tổng hợp.
Vòng xoắn số lục giác với các số nguyên tố có màu xanh lục và các số tổng hợp cao hơn có các sắc thái đậm hơn của màu xanh lam.
Hình xoắn ốc có 7503 số nguyên tố có thể nhìn thấy trên tam giác đều
.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

Tên	Giai đoạn = Stage	Quốc gia	Đóng góp địa chất
1. James Hutton, MD	1726–1797	Vương quốc Anh	Nhận MD vào năm 1749, đã viết một luận án có tiêu đề Về sự tuần hoàn của máu. Thực hành y học một thời gian ngắn sau đó làm nông nghiệp ở Cao nguyên Scotland, nghiên cứu địa chất của khu vực. Viết Lý thuyết về Trái đất vào năm 1795, đặt ra các nguyên tắc cơ bản của địa chất.
2. William Babington, MD	1756–1833	Vương quốc Anh	Nhận MD vào năm 1795. Được cấp phép Một Hệ thống Khoáng học Mới (1799). Là người có công trong việc thành lập Hiệp hội Địa chất Luân Đôn vào năm 1807, giữ chức Chủ tịch (1822–24).
3. William Hyde Wollaston, MD	1766–1828	Vương quốc Anh	Làm việc như một bác sĩ trong một thời gian ngắn, dành thời gian của mình để nghiên cứu về khoáng vật học và hóa học. Phát minh ra phương pháp điều chế Pt tinh khiết; người phát hiện ra các nguyên tố Pd và Rh. Từng là Chủ tịch Hiệp hội Hoàng gia London (1820). Huân chương Wollaston, giải thưởng cao nhất trong lĩnh vực địa chất được Hiệp hội Địa chất London trao tặng hàng năm để vinh danh ông.
4. John Jeremiah Bigsby, MD	1792–1881	Vương quốc Anh	Đã nghiên cứu địa chất của thung lũng St. Lawrence đến rìa phía tây của Hồ Superior; xuất bản nhiều bài báo. Thành lập Huân chương Bigsby tại Hiệp hội Địa chất Luân Đôn cho công trình xuất sắc trong lĩnh vực địa chất cho một người không quá 45 tuổi. Thành viên của Hiệp hội Địa chất Hoa Kỳ (1810).
5. James Parkinson, MD	1755–1824	Vương quốc Anh	Bác sĩ và nhà cổ sinh vật học; đã viết cuốn sách 3 tập Hữu cơ của một cựu thế giới. Thành viên sáng lập của Hiệp hội Địa chất London. (Bệnh Parkinson được đặt theo tên của anh ấy, mặc dù anh ấy không bị nó).
6. Gerard Troost, MD	1776–1850	Hoa Kỳ	Nhà địa chất bang Tennessee (1831–47); giáo sư hóa học, địa chất và khoáng vật học, Đại học Nashville; Chủ tịch, Viện Hàn lâm Khoa học Tự nhiên.
7. Benjamin Silliman, Sr; MD	1779–1864	Hoa Kỳ	Giáo sư hóa học và địa chất tại Yale. Giáo sư Silliman tại Yale được đặt theo tên của ông.
8. William Byrd Powell, MD	1799–1867	Hoa Kỳ	Nhà địa chất học bang Arkansas. Giáo sư Địa chất Y tế ở Kentucky.
9. Robert Peter, MD	1805–1894	Hoa Kỳ	Giáo sư hóa học tại Trường Y Kentucky. Đã viết Mối quan hệ của các dạng bệnh tật với các thành tạo địa chất của khu vực.
10. Henry King, MD	1805–1863?	Hoa Kỳ	Thực hiện công việc địa chất rộng rãi ở Missouri; Thành viên địa chất của AAAS (1848–54).
11. Louis (JLR) Agassiz, MD	1807–1873	Hoa Kỳ	Người sáng lập lý thuyết Thời đại băng hà; giáo sư Địa chất tại Harvard.
12. Ferdinand Vandevere Hayden, MD	1829–1887	Hoa Kỳ	Nhà thám hiểm vĩ đại của Cục Khảo sát Địa chất Hoa Kỳ. Giáo sư địa chất và khoáng vật học, Đại học Pennsylvania.

Lớp học	Thành phần	Sự tập trung
Yếu tố cần thiết	H, O, C, Ca, Mg, N, Na, K, Mg, P, S	Bao gồm 99,9% cơ thể con người
Các yếu tố chính	C, H, N, O	> 1%, chiếm 3–65% cơ thể người
Yếu tố phụ	Ca, Cl, K, Mg, Na, P, S	0,1–1% (1000–10,000 ppm)
Các yếu tố theo dõi	As, Br, Co, Cr, Cu, F, Fe, I, Li, Mn, Mo, Ni, Se, V, W, Zn	<0,1%

loại đá	số lượng mẫu	trung bình (gam trên một cm khối)	độ lệch chuẩn	chế độ (gram trên mỗi cm khối)	trung vị (gram trên mỗi cm khối)
Nguồn: Sau dữ liệu từ HS Washington (1917) và RJ Piersol, LE Workman và MC Watson (1940) do Gary R. Olhoeft và Gordon R. Johnson biên soạn trong Robert S. Carmichael (chủ biên), Sổ tay về các tính chất vật lý của Đá, tập. III, CRC Press, Inc. (1984).
tất cả đá	1.647	2,73	0,26	2,65	2,86
andesite	197	2,65	0,13	2,58	2,66
đá bazan	323	2,74	0,47	2,88	2,87
diorit	68	2,86	0,12	2,89	2,87
dolerit (diabase)	224	2,89	0,13	2,96	2,90
gabbro	98	2,95	0,14	2,99	2,97
đá granit	334	2,66	0,06	2,66	2,66
thạch anh	76	2,62	0,06	2,60	2,62
rhyolite	94	2,51	0,13	2,60	2,49
syenit	93	2,70	0,10	2,67	2,68
khí quản	71	2,57	0,10	2,62	2,57
sa thạch	107	2,22	0,23	2,22	2,22

loại đá	mật độ (gram trên mỗi cm khối)
Nguồn: Sau dữ liệu từ RA Daly, GE Manger và SP Clark, Jr. (1966); AF Birch (1966); F. Báo chí (1966); và RN Schock, BP Bonner, và H. Louis (1974) trong Robert S. Carmichael (chủ biên), Sổ tay tính chất vật lý của đá, tập. III, CRC Press, Inc. (1984).
amphibolit	2,79 từ3,14
kính andesite	2,40
anhydrite	2.82 Từ2.93
hướng dẫn	2,64 từ2,92
bazan	2,70 từ2,85
phấn	2,23
đôlômit	2,72 góc2,84
dunite	2,98 từ3,76
eclogite	3,32 từ 3,45
gneiss	2.59 Quảng2.84
granodiorit	2,67
đá vôi	1,55
đá hoa	2,67 mỏ2,75
norite	2,72
peridotit	3.15 Tiếng3.28
thạch anh	2,65
đá muối	2.10 Quảng2.20
đá phiến	2,73 từ3,19
đá phiến	2.06
đá phiến	2,72 góc2,84

	hằng số đàn hồi (ở nhiệt độ và áp suất phòng)
vật chất	Mô đun của Young (trong 10 ⁶ bar)	mô đun cắt (trong 10 ⁶ bar)
Nước đá	0,1	0,03
đá phiến	0,2 sắt0.3	0,15
đá vôi	0,4	0,22 vang0,26
đá granit	0,3	0,2
đá bazan	0,7	0,3
Thép	2.1	0,83
vật chất	nhiệt độ (độ C)	hệ số nhớt (trạng thái)
dung nham (núi Vesuvius)	1.100 1.400	28.300 250
dung nham (Oshima, Nhật Bản)	1.038 1.125	230.000 5.600
dung nham andesit	1.400	150 trận1.500
vật chất	cường độ nén (ở nhiệt độ và áp suất phòng, tính bằng kilobar)
đá phiến	0,8 Tiếng1.8
sa thạch	0,5 Điện2
đá vôi	1122
đá granit	1.7
đá bazan	1 Tiếng3.4

Các giá trị tiêu biểu của độ dẫn nhiệt
(tính bằng 0,001 calo mỗi cm mỗi giây mỗi ° C)
vật chất	ở 20 ° C	ở 200 ° C
đá điển hình	4 con10
đá granit	7,8	6,6
gneiss (vuông góc với dải)	5,9	5,5 (100 ° C)
gneiss (song song với dải)	8.2	7.4 (100 ° C)
gabbro	5.1	5.0
đá bazan	4.0	4.0
dunite	12,0	8.1
đá hoa	7.3	5,2
thạch anh	15.0	9.0
đá vôi	6.0
một sa thạch (khô)	4,4
một sa thạch (bão hòa)	5,4
đá phiến	3 Lốc4
đá muối	12.8
cát (khô)	0,65
cát (30% nước)	3,94
Nước	1,34 (0 ° C)	1.6 (80 ° C)
Nước đá	5,3 (0 ° C)	9,6 (30130 ° C)
từ tính	12.6
thạch anh	20.0
fenspat	5.0

Năng suất nhiệt
đồng vị	năng suất nhiệt, A (calo mỗi gram mỗi năm)
U-235	4,29
U-238	0,71
natural uranium	0.73
Th-232	0.20
K-40	0.22
natural potassium	27(10⁻⁶)
Rb-87	130(10⁻⁶)
natural rubidium	36(10⁻⁶)
major rock province	concentration			heat productivity, A
major rock province	U (ppm)	Th (ppm)	K (%)	(×10⁻¹³ calories per cubic centimetre per second)
oceanic crust	0.42	1.68	0.69	0.71
continental shield crust (old)	1.00	4.00	1.63	1.67
continental upper crust (young)	1.32	5.28	2.15	2.20

Some radioactive decay series
element	radioactive isotope	final product	isotopic abundance (%)	half-life (× 10⁹ years)
*Half-life for K-40 as a whole is 1.25 × 10⁹ years.
uranium	U-235	Pb-207	0.72	0.7
uranium	U-238	Pb-206	99.28	4.5
thorium	Th-232	Pb-208	100.0	14.0
potassium	K-40	(89%) Ca-40	0.01	1.4*
potassium	K-40	(11%) Argon-40	0.01	11.9*
rubidium	Rb-87	Sr-87	27.8	48.8

Heat productivities of various rocks
rock type	abundances				heat production
rock type	U ppm	Th ppm	Rb ppm	K %	from U	from Th	từ K	tổng A (trong 10 ⁻⁶ calo mỗi gram mỗi năm)
Nguồn: Được sửa đổi từ phần tổng hợp của William Van Schmus trong Robert S. Carmichael (chủ biên), Sổ tay tính chất vật lý của đá, tập. 3, CRC Press, Inc. (1984).
đá granit	3,4	50	220	4,45	2,52	9,95	1,16	13,63
andesite	1.9	6,4	67	2,35	1,41	1,27	0,61	3,29
bazan đại dương	0,5	0,9	9	0,43	0,37	0,18	0,11	0,66
peridotit	0,005	0,01	0,063	0,001	0,0037	0,002	0,0003	0,006
lớp vỏ lục địa trung bình	2,5	10,5	110	2.7	1,85	2.09	0,7	4,64
vỏ lục địa trung bình	1	2,5	50	1,25	0,74	0,5	0,33	1,56

Địa chất y tế

trừu tượng

Giới thiệu

Tiến hóa lịch sử

Y học với tư cách là nhà địa chất

Bảng 1

Tái xuất hiện của địa chất y tế

Định nghĩa địa chất y tế

Phạm vi địa chất y tế

Vật liệu và quy trình địa chất

Đá và khoáng chất

Đất sét trong chữa bệnh

Geophagy

Geophagy ở động vật

Bụi và ô nhiễm không khí

Nguyên tố hóa học và sức khỏe

Các yếu tố Cơ bản, Chính, Phụ và Dấu vết

ban 2

Phần tử nhỏ hoặc phần tử dấu vết

Các yếu tố theo dõi: Sự thiếu hụt vượt mức so với

Nghiên cứu phần tử theo dõi

Chất lượng nước và bệnh tim mạch

Asen trong nước uống

Flo và sức khỏe răng miệng

Chì và Sức khỏe Trẻ em

Nguyên tố hóa học và sức khỏe động vật

Suối khoáng nóng và liệu pháp dưỡng da

Hiện trạng địa chất y tế

bàn số 3

Triển vọng trong tương lai

Pancha Maha Bhuta là gì

xoắn ốc ulam hay xoắn ốc số nguyên tố

Xây dựng

Lịch sử

Giải thích

Giả thuyết của Hardy và Littlewood F

Các biến thể

Xem Xét Chung

Các loại đá

Phân loại theo kích thước hạt hoặc tinh thể

Tính Chất Vật Lý

Tính chất cơ học

Hằng số đàn hồi

Mối quan hệ căng thẳng căng thẳng

Ảnh hưởng của điều kiện môi trường

Tính chất nhiệt

Phát nhiệt phóng xạ

Tính chất điện

Từ tính

Các ứng dụng của nghiên cứu từ hóa đá

Các loại từ hóa cơ bản

Các loại từ hóa còn lại

Độ trễ và độ nhạy từ

Khoáng chất và tính chất từ ​​của đá

Khoáng chất và tính chất từ của đá